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\section{理論}
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\subsection{コンデンサ}
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コンデンサとは電圧を加えると電荷を保持する素子である.
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コンデンサは電圧$v(t)$に比例して電流$i(t)$の時間微分である電荷$q(t)$を保持するので\cref{equ:cap-i}が成り立つ.
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\begin{equation}
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\label{equ:cap-i}
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\frac{dq}{dt} = i(t) = C \frac{dv}{dt}
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\end{equation}
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\Cref{equ:cap-i}を電圧$v(t)$で示すと\cref{equ:cap-v}が得られる.
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\begin{equation}
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\label{equ:cap-v}
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v(t) = \frac{1}{C} \int^{t}_{0} i(\delta)d\delta
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\end{equation}
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ここで, $C$はコンデンサの容量を表す\supercite{ac-theory:impedance}.
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抵抗器とコンデンサの直列回路をRC回路という.
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この回路の時刻$t$における電圧を考える.
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抵抗値$R$を持つ抵抗器と容量$C$を持つコンデンサの直列回路に電流$i(t)$を流した際の回路全体の電圧$v(t)$は\cref{equ:rc-v-1}となる.
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\begin{equation}
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\label{equ:rc-v-1}
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v(t) = Ri(t) + \frac{1}{C}\int^{t}_{0}i(\delta)d\delta
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\end{equation}
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ここで, \cref{equ:cap-i}を用いて\cref{equ:rc-v-1}を書き換えると一階線形微分方程式\cref{equ:rc-v-2}を得る.
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\begin{equation}
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\label{equ:rc-v-2}
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v_i = RC\frac{d v_{C}}{dt} + v_{C}(t)
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\end{equation}
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\Cref{equ:rc-v-2}の入力電圧$v_i$は直流電圧で任意の定数とする.
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\Cref{equ:rc-v-2}の微分方程式を変数分離形として一般解を求めると\cref{equ:rc-v-solv}となる.
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\begin{equation}
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\label{equ:rc-v-solv}
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\begin{aligned}
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RC\frac{d v_{C}}{dt} &= v_i - v_{C} \\
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\frac{d v_{C}}{v_i - v_{C}} &= \frac{1}{RC} dt \\
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\int \frac{d v_{C}}{v_i - v_{C}} &= \int \frac{1}{RC} dt \\
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\log{(v_i - v_C)} + C_v &= -\frac{t}{RC} + C_t \\
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e^{C_v}(v_i - v_C) &= e^{C_t} e^{-\frac{t}{RC}} \\
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v_C &= v_i - \left(e^{C_t - C_v}\right) e^{-\frac{t}{RC}}
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\end{aligned}
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\end{equation}
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ここで$e^{C_t - C_v}$を$C_0$と置き, $v_{C}(0) = 0$という条件を満たす$C_0$を与えると\cref{equ:rc-v}となる.
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\begin{align}
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\label{equ:rc-v}
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v_C(t) = v_i - C_{0}e^{-\frac{t}{RC}} = v_i\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) && \text{where, } \ C_0 = v_i
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\end{align}
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\subsection{インダクタ}
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インダクタは電流を磁束としてエネルギーを保持する素子である.
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磁束が電流$i(t)$に比例する場合のインダクタにかかる電圧は\cref{equ:l-v}で示される.
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\begin{equation}
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\label{equ:l-v}
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v(t) = L\frac{di}{dt}
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\end{equation}
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ここで, $L$はインダクタンスを表す\supercite{ac-theory:impedance}.
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抵抗器とインダクタの直列回路をRL回路という. この回路の時刻$t$における電圧を考える.
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抵抗値$R$を持つ抵抗器とインダクタンス$L$を持つインダクタの直列回路に電流$i(t)$を流した際の回路全体の電圧$v(t)$は\cref{equ:rl-v-1}となる.
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\begin{equation}
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\label{equ:rl-v-1}
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v(t) = Ri(t) + L\frac{di}{dt}
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\end{equation}
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\Cref{equ:rl-v-1}の$v(t)$を直流電圧$v_i$の任意の定数関数とすると\cref{equ:rl-v-2}の一階微分方程式が得られる.
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\begin{equation}
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\label{equ:rl-v-2}
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v_i = Ri + L\frac{di}{dt}
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\end{equation}
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\Cref{equ:rl-v-2}の微分方程式を変数分離形として一般解を求めると\cref{equ:rl-v-solv}となる.
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\begin{equation}
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\label{equ:rl-v-solv}
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\begin{aligned}
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L\frac{di}{dt} &= v_i - Ri = v_L \\
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\frac{di}{v_i - Ri} &= \frac{dt}{L} \\
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\int \frac{di}{v_i - Ri} &= \int \frac{dt}{L} \\
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-\frac{1}{R}\log{(v_i - Ri)} + C_i &= \frac{1}{L}t + C_t \\
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\log{(v_i - Ri)} + C_i &= -\frac{R}{L}t + C_t \\
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e^{C_i}(v_i - Ri) &= e^{C_t}e^{-\frac{R}{L}t} \\
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v_i - Ri &= e^{C_t - C_i}e^{-\frac{R}{L}t} = v_L \\
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i &= \frac{v_i}{R} - \frac{1}{R}e^{C_t - C_i}e^{-\frac{R}{L}t}
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\end{aligned}
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\end{equation}
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ここで, $e^{C_t - C_i}$を$C_0$とし, $i(0) = 0$という条件を満たす$C_0$を与えると\cref{equ:rl-v}となる.
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\begin{align}
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\label{equ:rl-i} i(t) &= \frac{v_i}{R} - \frac{C_0}{R}e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{v_i}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right) && \text{where, } \ C_0 = v_i \\
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\label{equ:rl-v} v_{L}(t) &= C_0 e^{-\frac{R}{L}t} = v_i e^{-\frac{R}{L}t} && \text{where, } \ C_0 = v_i
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\end{align}
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\subsection{共振周波数・Q値・半値幅}
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RLCの交流回路網でインピーダンスが純抵抗性・純コンダクタンスを示す時の周波数を共振周波数という.
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直列回路の場合, インピーダンスは\cref{equ:rlc-s-z}となる.
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\begin{equation}
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\label{equ:rlc-s-z}
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Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right)^2}
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\end{equation}
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このインピーダンスが純抵抗性を示すのは括弧内の値が0になれば良いので共振周波数$f_r$は\cref{equ:rlc-s-fr}となる\supercite{ac-theory:impedance}.
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\begin{equation}
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\label{equ:rlc-s-fr}
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f_r = \frac{\omega{}_r}{2\pi} = \frac{1}{2\pi{}\sqrt{LC}}
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\end{equation}
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並列回路の場合, アドミタンスは\cref{equ:rlc-p-z}となる.
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\begin{equation}
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\label{equ:rlc-p-z}
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Y = \sqrt{\frac{1}{R^2} + \left(\omega{}C - \frac{1}{\omega{}L}\right)^2}
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\end{equation}
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このアドミタンスが純コンダクタンス性を示すのは括弧内の値が0になれば良いので共振周波数$f_a$は\cref{equ:rlc-p-fa}となる\supercite{ac-theory:rlc-parallel}.
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\begin{equation}
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\label{equ:rlc-p-fa}
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f_a = \frac{\omega{}_a}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
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\end{equation}
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Q値とはQuality Factorのことで, 共振時の共振のよさを示す指標である.
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直列回路ではインダクタのインピーダンスと抵抗器の抵抗値との比がコンデンサのインピーダンスと抵抗器の抵抗値との比が等しい時の値で,
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並列回路ではインダクタのアドミタンスと抵抗器のコンダクタンスとの比がコンデンサのアドミタンスと抵抗器のコンダクタンスとの比が等しい時の値である\supercite{ac-theory:impedance}\supercite{ac-theory:rlc-parallel}.
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\begin{equation}
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\label{equ:q-factor-s}
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Q_{\text{Series}} = \frac{\omega{}_r L}{R} = \frac{1}{\omega{}_r CR} = \frac{1}{R} \frac{L}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{R} \frac{\sqrt{LC}}{C} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\label{equ:q-factor-p}
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Q_{\text{Parallel}} = \omega{}_a CR = \frac{R}{\omega{}_a L} = R \frac{C}{\sqrt{LC}} = R \frac{\sqrt{LC}}{L} = R \sqrt{\frac{C}{L}}
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\end{equation}
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半値幅とは共振周波数を中心に電力が半分, または電流・電圧のゲインが$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍になる2つの周波数の差を表す値で, 共振が鋭ければ鋭いほどこの値は小さくなる.
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直列回路の場合, 半値幅BWは\cref{equ:bw-s}となる\supercite{ac-theory:impedance}.
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\begin{equation}
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\label{equ:bw-s}
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\begin{split}
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Z_r &= R \\
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\sqrt{2}Z_r &= \sqrt{R^2 + \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right)^2} \\
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2{Z_r}^2 &= 2R^2 = R^2 + \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right)^2 \\
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\pm{}R &= \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right) = \frac{\omega{}^{2}LC - 1}{\omega{}C} \\
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0 &= \omega{}^{2}LC \pm \omega{}RC - 1, (\omega{} > 0) \\
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\omega{} &= \frac{\pm{}RC + \sqrt{D}}{2LC} \\
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\omega{}_1 &= \frac{-RC + \sqrt{D}}{2LC} \\
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\omega{}_2 &= \frac{RC + \sqrt{D}}{2LC} \\
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\text{BW} &= f_2 - f_1 = \frac{\omega{}_2}{2\pi} - \frac{\omega{}_1}{2\pi} = \frac{R}{2\pi{}L} = \frac{f_r}{Q_{\text{Series}}}
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\end{split}
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\end{equation}
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\newpage
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並列回路の場合, 半値幅BWは\cref{equ:bw-p}となる\supercite{ac-theory:rlc-parallel}.
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\begin{equation}
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\label{equ:bw-p}
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\begin{split}
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Y_r &= \frac{1}{R} = G \\
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\sqrt{2}Y_r &= \sqrt{G^2 + \left(\omega{}C - \frac{1}{\omega{}L}\right)^2} \\
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2{Y_r}^2 &= 2G^2 = G^2 + \left(\omega{}C - \frac{1}{\omega{}L}\right)^2 \\
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\pm{}G &= \frac{\omega{}^{2}LC - 1}{\omega{}L} \\
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0 &= \omega{}^{2}LC \pm \omega{}LG - 1, (\omega{} > 0) \\
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\omega{} &= \frac{\pm{}LG + \sqrt{D}}{2LC} \\
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\omega{}_1 &= \frac{-LG + \sqrt{D}}{2LC} \\
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\omega{}_2 &= \frac{LG + \sqrt{D}}{2LC} \\
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\text{BW} &= f_2 - f_1 = \frac{\omega{}_2}{2\pi} - \frac{\omega{}_1}{2\pi} = \frac{G}{2\pi{}C} = \frac{1}{2\pi{}RC} = \frac{f_a}{Q_{\text{Parallel}}}
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\end{split}
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\end{equation}
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