\section{理論}

\subsection{コンデンサ}

コンデンサとは電圧を加えると電荷を保持する素子である.
コンデンサは電圧$v(t)$に比例して電流$i(t)$の時間微分である電荷$q(t)$を保持するので\cref{equ:cap-i}が成り立つ.
\begin{equation}
    \label{equ:cap-i}
    \frac{dq}{dt} = i(t) = C \frac{dv}{dt}
\end{equation}
\Cref{equ:cap-i}を電圧$v(t)$で示すと\cref{equ:cap-v}が得られる.
\begin{equation}
    \label{equ:cap-v}
    v(t) = \frac{1}{C} \int^{t}_{0} i(\delta)d\delta
\end{equation}
ここで, $C$はコンデンサの容量を表す\supercite{ac-theory:impedance}.

抵抗器とコンデンサの直列回路をRC回路という.
この回路の時刻$t$における電圧を考える.
抵抗値$R$を持つ抵抗器と容量$C$を持つコンデンサの直列回路に電流$i(t)$を流した際の回路全体の電圧$v(t)$は\cref{equ:rc-v-1}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:rc-v-1}
    v(t) = Ri(t) + \frac{1}{C}\int^{t}_{0}i(\delta)d\delta
\end{equation}

ここで, \cref{equ:cap-i}を用いて\cref{equ:rc-v-1}を書き換えると一階線形微分方程式\cref{equ:rc-v-2}を得る.
\begin{equation}
    \label{equ:rc-v-2}
    v_i = RC\frac{d v_{C}}{dt} + v_{C}(t)
\end{equation}
\Cref{equ:rc-v-2}の入力電圧$v_i$は直流電圧で任意の定数とする.

\Cref{equ:rc-v-2}の微分方程式を変数分離形として一般解を求めると\cref{equ:rc-v-solv}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:rc-v-solv}
    \begin{aligned}
        RC\frac{d v_{C}}{dt} &= v_i - v_{C} \\
        \frac{d v_{C}}{v_i - v_{C}} &= \frac{1}{RC} dt \\
        \int \frac{d v_{C}}{v_i - v_{C}} &= \int \frac{1}{RC} dt \\
        \log{(v_i - v_C)} + C_v &= -\frac{t}{RC} + C_t \\
        e^{C_v}(v_i - v_C) &= e^{C_t} e^{-\frac{t}{RC}} \\
        v_C &= v_i - \left(e^{C_t - C_v}\right) e^{-\frac{t}{RC}}
    \end{aligned}
\end{equation}

ここで$e^{C_t - C_v}$を$C_0$と置き, $v_{C}(0) = 0$という条件を満たす$C_0$を与えると\cref{equ:rc-v}となる.
\begin{align}
    \label{equ:rc-v}
    v_C(t) = v_i - C_{0}e^{-\frac{t}{RC}} = v_i\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) && \text{where, } \ C_0 = v_i
\end{align}


\subsection{インダクタ}

インダクタは電流を磁束としてエネルギーを保持する素子である.
磁束が電流$i(t)$に比例する場合のインダクタにかかる電圧は\cref{equ:l-v}で示される.
\begin{equation}
    \label{equ:l-v}
    v(t) = L\frac{di}{dt}
\end{equation}
ここで, $L$はインダクタンスを表す\supercite{ac-theory:impedance}.

抵抗器とインダクタの直列回路をRL回路という. この回路の時刻$t$における電圧を考える.
抵抗値$R$を持つ抵抗器とインダクタンス$L$を持つインダクタの直列回路に電流$i(t)$を流した際の回路全体の電圧$v(t)$は\cref{equ:rl-v-1}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:rl-v-1}
    v(t) = Ri(t) + L\frac{di}{dt}
\end{equation}

\Cref{equ:rl-v-1}の$v(t)$を直流電圧$v_i$の任意の定数関数とすると\cref{equ:rl-v-2}の一階微分方程式が得られる.
\begin{equation}
    \label{equ:rl-v-2}
    v_i = Ri + L\frac{di}{dt}
\end{equation}

\Cref{equ:rl-v-2}の微分方程式を変数分離形として一般解を求めると\cref{equ:rl-v-solv}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:rl-v-solv}
    \begin{aligned}
        L\frac{di}{dt} &= v_i - Ri = v_L \\
        \frac{di}{v_i - Ri} &= \frac{dt}{L} \\
        \int \frac{di}{v_i - Ri} &= \int \frac{dt}{L} \\
        -\frac{1}{R}\log{(v_i - Ri)} + C_i &= \frac{1}{L}t + C_t \\
        \log{(v_i - Ri)} + C_i &= -\frac{R}{L}t + C_t \\
        e^{C_i}(v_i - Ri) &= e^{C_t}e^{-\frac{R}{L}t} \\
        v_i - Ri &= e^{C_t - C_i}e^{-\frac{R}{L}t} = v_L \\
        i &= \frac{v_i}{R} - \frac{1}{R}e^{C_t - C_i}e^{-\frac{R}{L}t}
    \end{aligned}
\end{equation}
ここで, $e^{C_t - C_i}$を$C_0$とし, $i(0) = 0$という条件を満たす$C_0$を与えると\cref{equ:rl-v}となる.
\begin{align}
    \label{equ:rl-i} i(t) &= \frac{v_i}{R} - \frac{C_0}{R}e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{v_i}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right) && \text{where, } \ C_0 = v_i \\
    \label{equ:rl-v} v_{L}(t) &= C_0 e^{-\frac{R}{L}t} = v_i e^{-\frac{R}{L}t} && \text{where, } \ C_0 = v_i
\end{align}

\subsection{共振周波数・Q値・半値幅}

RLCの交流回路網でインピーダンスが純抵抗性・純コンダクタンスを示す時の周波数を共振周波数という.

直列回路の場合, インピーダンスは\cref{equ:rlc-s-z}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:rlc-s-z}
    Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right)^2}
\end{equation}
このインピーダンスが純抵抗性を示すのは括弧内の値が0になれば良いので共振周波数$f_r$は\cref{equ:rlc-s-fr}となる\supercite{ac-theory:impedance}.
\begin{equation}
    \label{equ:rlc-s-fr}
    f_r = \frac{\omega{}_r}{2\pi} = \frac{1}{2\pi{}\sqrt{LC}}
\end{equation}

並列回路の場合, アドミタンスは\cref{equ:rlc-p-z}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:rlc-p-z}
    Y = \sqrt{\frac{1}{R^2} + \left(\omega{}C - \frac{1}{\omega{}L}\right)^2}
\end{equation}
このアドミタンスが純コンダクタンス性を示すのは括弧内の値が0になれば良いので共振周波数$f_a$は\cref{equ:rlc-p-fa}となる\supercite{ac-theory:rlc-parallel}.
\begin{equation}
    \label{equ:rlc-p-fa}
    f_a = \frac{\omega{}_a}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
\end{equation}

Q値とはQuality Factorのことで, 共振時の共振のよさを示す指標である.
直列回路ではインダクタのインピーダンスと抵抗器の抵抗値との比がコンデンサのインピーダンスと抵抗器の抵抗値との比が等しい時の値で,
並列回路ではインダクタのアドミタンスと抵抗器のコンダクタンスとの比がコンデンサのアドミタンスと抵抗器のコンダクタンスとの比が等しい時の値である\supercite{ac-theory:impedance}\supercite{ac-theory:rlc-parallel}.
\begin{equation}
    \label{equ:q-factor-s}
    Q_{\text{Series}} = \frac{\omega{}_r L}{R} = \frac{1}{\omega{}_r CR} = \frac{1}{R} \frac{L}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{R} \frac{\sqrt{LC}}{C} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{equ:q-factor-p}
    Q_{\text{Parallel}} = \omega{}_a CR = \frac{R}{\omega{}_a L} = R \frac{C}{\sqrt{LC}} = R \frac{\sqrt{LC}}{L} = R \sqrt{\frac{C}{L}}
\end{equation}

半値幅とは共振周波数を中心に電力が半分, または電流・電圧のゲインが$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍になる2つの周波数の差を表す値で, 共振が鋭ければ鋭いほどこの値は小さくなる.
直列回路の場合, 半値幅BWは\cref{equ:bw-s}となる\supercite{ac-theory:impedance}.
\begin{equation}
    \label{equ:bw-s}
    \begin{split}
        Z_r &= R \\
        \sqrt{2}Z_r &= \sqrt{R^2 + \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right)^2} \\
        2{Z_r}^2 &= 2R^2 = R^2 + \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right)^2 \\
        \pm{}R &= \left(\omega{}L - \frac{1}{\omega{}C}\right) = \frac{\omega{}^{2}LC - 1}{\omega{}C} \\
        0 &= \omega{}^{2}LC \pm \omega{}RC - 1, (\omega{} > 0) \\
        \omega{} &= \frac{\pm{}RC + \sqrt{D}}{2LC} \\
        \omega{}_1 &= \frac{-RC + \sqrt{D}}{2LC} \\
        \omega{}_2 &= \frac{RC + \sqrt{D}}{2LC} \\
        \text{BW} &= f_2 - f_1 = \frac{\omega{}_2}{2\pi} - \frac{\omega{}_1}{2\pi} = \frac{R}{2\pi{}L} = \frac{f_r}{Q_{\text{Series}}}
    \end{split}
\end{equation}

\newpage

並列回路の場合, 半値幅BWは\cref{equ:bw-p}となる\supercite{ac-theory:rlc-parallel}.
\begin{equation}
    \label{equ:bw-p}
    \begin{split}
        Y_r &= \frac{1}{R} = G \\
        \sqrt{2}Y_r &= \sqrt{G^2 + \left(\omega{}C - \frac{1}{\omega{}L}\right)^2} \\
        2{Y_r}^2 &= 2G^2 = G^2 + \left(\omega{}C - \frac{1}{\omega{}L}\right)^2 \\
        \pm{}G &= \frac{\omega{}^{2}LC - 1}{\omega{}L} \\
        0 &= \omega{}^{2}LC \pm \omega{}LG - 1, (\omega{} > 0) \\
        \omega{} &= \frac{\pm{}LG + \sqrt{D}}{2LC} \\
        \omega{}_1 &= \frac{-LG + \sqrt{D}}{2LC} \\
        \omega{}_2 &= \frac{LG + \sqrt{D}}{2LC} \\
        \text{BW} &= f_2 - f_1 = \frac{\omega{}_2}{2\pi} - \frac{\omega{}_1}{2\pi} = \frac{G}{2\pi{}C} = \frac{1}{2\pi{}RC} = \frac{f_a}{Q_{\text{Parallel}}}
    \end{split}
\end{equation}
