nit-dep-d-exp-1-S1/sections/a-3/reflection.tex

\section{考察}

\subsection{実験1-1}

時定数とはある変動を加えた系の状態が平衡に達するまでの時間の尺度である.
この時間が短ければ信号は直ぐに平衡状態になり, 長ければ信号の変化はゆるやかとなり, 平衡状態に達するまでの時間が長くなる\supercite{brit-time_constant}.

\Cref{equ:rc-v}の指数関数項の指数が-1になる時間が時定数$\tau$である, よって時定数は\cref{equ:tc-c}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:tc-c}
    \begin{split}
        v_C(\tau) &= v_i \left(1 - e^{-\frac{\tau}{RC}}\right) = v_i \left(1 - e^{-1}\right) \\
        \tau &= RC
    \end{split}
\end{equation}

\Cref{equ:tc-c}から時定数は抵抗値とキャパシタンスに比例することが分かる.

今回の実験では, 時定数は$10 \ \text{k}\Omega \times 1 \ \text{nF} = 10 \ \mu\text{s}$となる.
実際に\cref{fig:exp11-res-b}では$10 \ \mu\text{s}$で$v_i$の$(1 - e^{-1})\text{倍} \approx 60\%$まで充電されている.

\subsection{実験1-2}

\Cref{equ:rl-v}の指数関数項の指数が-1になる時間が時定数$\tau$なので, 時定数は\cref{equ:tc-l}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:tc-l}
    \begin{split}
        v_L(\tau) &= v_i e^{-\frac{R}{L}\tau} = v_i e^{-1} \\
        \tau &= \frac{L}{R}
    \end{split}
\end{equation}

\Cref{equ:tc-l}から時定数はインダクタンスに比例し, 抵抗値に反比例することが分かる.

今回の実験では, 時定数は$\frac{100 \ \text{mH}}{10 \ \text{k}\Omega} = 10 \ \mu\text{s}$となる.
実際に\cref{fig:exp12-res-b}では$10 \ \mu\text{s}$で$v_i$の$(1 - e^{-1})\text{倍} \approx 60\%$まで充電されている.

\subsection{実験2-1}

\Cref{fig:exp21-cd}の回路内のシャント抵抗$R$を無視するには, $R \ll \frac{1}{2\pi{}fC}$を満たす周波数領域内である必要がある.
コンデンサのインピーダンスがシャント抵抗の$\frac{1}{100}$倍になる場合を十分小さいとみなし, 1 nFと100 $\mu$Fのコンデンサでは\cref{tab:cap-f-range}で示した範囲となった.

\begin{table}[H]
    \centering
    \caption{Frequency Range for a Shunt Resistor being Insignificant in the Circuit}
    \label{tab:cap-f-range}
    \begin{tabular}{r|l}
        \hline
        Capacitor & Range \\
        \hline
        1 nF & $f < 33.9 \ \text{kHz}$ \\
        100 $\mu$F & $f < 0.338 \ \text{Hz}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\cref{tab:cap-f-range}から分かるように, 100 $\mu$Fでは計測範囲の下限1 kHzより更に低い周波数でシャント抵抗の抵抗成分が主となるため, 実験結果\cref{fig:exp21-res}の100 $\mu$Fのインピーダンスは一定となり, 電流と電圧は同相を示す理由に説明がつく. なので, 結果からこのコンデンサの静電容量の推定は不可能となる.

一方, 1 nFのコンデンサは計測範囲内に納まっているので結果から静電容量の推定が可能である.
実験結果\cref{fig:exp21-res}から, 目測できる範囲で計算すると\cref{equ:calc-capacitance-1nf}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:calc-capacitance-1nf}
    \begin{split}
        f &= 5 \ \text{kHz} \\
        Z &= \frac{1}{2\pi{}fC} \approx 3 \times 10^4 \\
        C &= \frac{1}{2\pi{}fZ} \approx 1.061 \ \text{nF}
    \end{split}
\end{equation}
これは定格容量の$+6.1\%$の誤差となる.

\subsection{実験2-2}

実験結果\cref{fig:exp22-res}より, 目測できる範囲でインダクタンスを計算すると\cref{equ:calc-inductance-100mh}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:calc-inductance-100mh}
    \begin{split}
        f &= 5 \ \text{kHz} \\
        Z &= 2\pi{}fL \approx 3 \times 10^3 \\
        L &= \frac{Z}{2\pi{}f} \approx 95.49 \ \text{mH}
    \end{split}
\end{equation}
これは定格インダクタンスの$-4.51\%$の誤差となる.

また実験結果より, 100 kHzから500 kHzの間でインピーダンスが減少する傾向に転じた. また, 位相では180度増加した.
この現象は現実のインダクターはRLC並列回路の一種であるとすれば説明できる.
銅線は値が低くとも抵抗値を持ち, 巻かれているので使用する長さも長くなり抵抗値が増える.
また, 巻線間のピッチが短くなるので銅線どうしでコンデンサのように振舞うことがある.
この仮想的なコンデンサが持つ静電容量を寄生キャパシタンスという.

マルチメータで測定したインダクターの端子間抵抗値は138 $\Omega$であったので等価回路は\cref{equ:l-equivalent-cd}となる.
\begin{figure}[tbh]
    \centering
    \begin{circuitikz}
        \draw (0,0) to[R={$138 \ \Omega$}, o-*] ++(2,0) coordinate (p);
        \draw (p) -- ++(0,1) to[american inductor={$100 \ \text{mH}$}] ++(2,0) -- ++(0,-1);
        \draw (p) -- ++(0,-1) to[C={$C$}] ++(2,0) -- ++(0,1);
        \draw (p) ++(2,0) to[short, *-o] ++(1,0);
    \end{circuitikz}
    \caption{Equivalent Circuit of Inductor}
    \label{equ:l-equivalent-cd}
\end{figure}

この回路のインピーダンスは\cref{equ:r-lc-z}となり, 共振周波数は\cref{equ:resfreq-r-lc}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:r-lc-z}
    \dot{Z} = R + \frac{1}{j\omega{}C + \frac{1}{j\omega{}L}} = R - j\frac{\omega{}L}{\omega{}^{2}CL - 1}
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{equ:resfreq-r-lc}
    \begin{split}
        Z &= |\dot{Z}| = \sqrt{R^2 + \left(\frac{\omega{}L}{\omega{}^{2}CL - 1}\right)^{2}} \\
        Z_\text{max} &= Z(f_a) = \infty \\
        0 &= \omega{}^{2}LC - 1 \\
        \omega{}^{2} &= \frac{1}{LC} \\
        \omega{} &= \frac{1}{\sqrt{LC}} = 2\pi{}f_a \\
        f_a &= \frac{1}{2\pi{}\sqrt{LC}}
    \end{split}
\end{equation}

$100 \ \text{kHz} < f_a < 500 \ \text{kHz}$を満たす寄生キャパシタンスは$1.061 \ \text{pF} < C < 26.53 \ \text{pF}$となる.
また, $f_a$を\\中間の300 kHzとすると寄生キャパシタンスは2.947 pFとなる.

この共振周波数を境に回路が誘導性を示すか容量性を示すかが決まってくる. 今回の実験では共振周波数より低い周波数では回路は誘導性を示し, 電流は電圧より90\textdegree 遅れ, 共振周波数より高い周波数では回路は容量性を示し, 電流は電圧より90\textdegree 進む.

\subsection{実験2-3}

今回の実験のパラメータから, 抵抗成分は信号抵抗と主抵抗の合成並列抵抗であることに注意して計算すると, 共振周波数は\cref{equ:res-f-exp23}となり, Q値は\cref{equ:qf-exp23}となった.
\begin{equation}
    \label{equ:res-f-exp23}
    f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{100 \ \text{mH} \times 1 \ \text{nF}}} = 15.915 \ \text{kHz}
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{equ:qf-exp23}
    \begin{split}
        r &= \frac{1}{R^{-1} + {R_i}^{-1}} \approx 9090.91 \ \Omega \\
        Q &= r \times \sqrt{\frac{1 \ \text{nF}}{100 \ \text{mH}}} = 0.9091
    \end{split}
\end{equation}
そして, これらの値から半値幅の理論値を計算すると\cref{equ:bw-exp23-theory}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:bw-exp23-theory}
    \text{BW}_{\text{theory}} = \frac{f_r}{Q} \approx 17.51 \ \text{kHz}
\end{equation}

実験結果\Cref{fig:exp23-res}から目測で周波数を読み, 半値幅を概算すると\cref{equ:bw-exp23-measured}となる.
\begin{equation}
    \label{equ:bw-exp23-measured}
    \text{BW} = f_2 - f_1 = 26 \ \text{kHz} - 9 \ \text{kHz} = 17 \ \text{kHz}
\end{equation}

詳細な周波数を取得していなかったので500 Hz以上の誤差が出てしまったが, 共振周波数・半値幅ともに理論値とおおかた一致した.

これら共振周波数, Q値や半値幅はフィルタ回路の設計で, どの周波数の信号をどれだけの振幅で通過させるかを決定するのに重要な指標である.
共振周波数は通過・遮断させる主な周波数を, 半値幅はフィルタの有効周波数の範囲を, そしてQ値はフィルタ通過後の振幅を決定する.