nit-dep-d-exp-1-S1/sections/a-2/theory.tex

\section{理論}

\subsection{オームの法則}

ある抵抗値を持つ抵抗器$R \ [\Omega]$に対し端子間電圧$V \ [\text{V}]$を印加すると抵抗に電流$I \ [\text{A}]$が流れる．
この時，$V, R, I$には次の関係式が成り立つ．

\begin{equation}\label{equ:ohm}
    V = RI
\end{equation}

\cref{equ:ohm}で表されるこの関係をオームの法則という\supercite{ac-theory:ohm}．

電圧は電流に比例するのでV-I図は\cref{fig:v-i-example}のようになる．

\begin{figure}[tbh]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[domain=0:4]
        \draw[->] (0,0) -- (4.5,0);
        \draw[->] (0,0) -- (0,4.5);

        \foreach \x in {0,...,4} {
            \draw (\x, 0) node[below]{\x} -- (\x, 0.1);
            \draw (0, \x) node[left]{\x} -- (0.1, \x);
        }

        \draw plot (\x, \x) node[left=5pt]{$R = 1 \ \text{k}\Omega$};
        \draw plot (\x, {\x/2}) node[below=10pt]{$R = 2 \ \text{k}\Omega$};
        \node at (2.25,-0.4) [below] {Voltage [V]};
        \node[rotate=90] at (-0.3,2.25) [above] {Current [mA]};
    \end{tikzpicture}
    \caption{Ohm's Law on Graph}
    \label{fig:v-i-example}
\end{figure}

\subsection{キルヒホッフの法則}

複数の抵抗・電源からなる複雑な回路はオームの法則だけでは回路を解くことはできない．
キルヒホッフの法則はそのような回路網を計算する際に用いられる．

この法則には2つの性質が定義されている．

第一法則は電流則とも呼ばれ，\cref{fig:kirchhoff-i}のように回路中の接点の電流の入出流の関係が定義されている．
具体的には，\cref{equ:kirchhoff-i}に示すように流入(または流出)を正として総和した電流は常に零である，または，接点に流れ込む電流と流れ出る電流は等しい\supercite{ac-theory:kirchhoff-law-i}．

\begin{equation}\label{equ:kirchhoff-i}
    \sum_{k = 0} i_{k} = 0
\end{equation}

\newpage

第二法則は電圧則とも呼ばれ，\cref{fig:kirchhoff-v}のように回路の1つのループ(閉路)での電圧降下の関係が定義されている．
具体的には，\cref{equ:kirchhoff-v}に示すように回路内の任意の閉路について，その閉路に向定め，各枝の電圧を閉路向きに総和したとき，その和は常に零である\supercite{ac-theory:kirchhoff-law-v}．

\begin{equation}\label{equ:kirchhoff-v}
    \sum_{k = 0} v_{k} = 0
\end{equation}


\begin{figure}[tbh]
    \centering
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (135:3) to [short, -*, i={$i_1$}] (0,0);
            \draw (-135:3) to [short, i={$i_2$}] (0,0);
            \draw (0,0) to [short, i={$i_3$}] (45:3);
            \draw (0,0) to [short, i={$i_5$}] (0:3);
            \draw (0,0) to [short, i={$i_4$}] (-45:3);
            \draw (0,0) node[below] {A};
        \end{circuitikz}
        \vspace{5.4em}
        \subcaption{Current Law}
        \label{fig:kirchhoff-i}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (90:3) node[above] {A} coordinate(p1) to [R, i={$i_1$}] (162:3) node[left] {B} coordinate(p2);
            \draw (p2) to [battery1, i={$i_2$}] (234:3) node[left] {C} coordinate(p3);
            \draw (p3) to [R, i={$i_3$}] (306:3) node[right] {D} coordinate(p4);
            \draw (18:3) node[right] {E} coordinate(p5) to [battery1, i={$i_4$}] (p4);
            \draw (p5) to [R, i={$i_5$}] (p1);
            \draw (0,0) node {\Huge$\circlearrowleft$};
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Voltage Law}
        \label{fig:kirchhoff-v}
    \end{minipage}
    \caption{Kirchhoff's Laws}
\end{figure}

\subsection{重ね合わせの理}

電気回路に電圧源，電流源，抵抗器，キャパシタ，インダクタが複数個存在する場合，その回路は線形であり，電流・電圧源が単独で存在する場合の回路網の電流・電圧分布を求め，それらを重ね(加え)合わせた値は同時に存在する場合の値と等しい．ただし，取り去られる電流源は開放除去，電圧源は短絡除去する\supercite{ac-theory:superposition}．

\subsection{テブナンの定理}

電源を含む線形回路の端子開放電圧が$V_0$で内部インピーダンスが$Z_0$であった場合にインピーダンス$Z$を端子に接続したとき，流れる電流$I$は\cref{equ:thevenin}となる．

\begin{equation}\label{equ:thevenin}
    I = \frac{V_0}{Z_0 + Z}
\end{equation}

\newpage

\begin{figure}[tbh]
    \centering
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) node[fourport] (X) {$X$};
            \draw (X.center) node {$Z_0$};
            \draw (X.port3) to [short, -o] ++(1,0) node[above]{A} coordinate(A);
            \draw (X.port2) to [short, -o] ++(1,0) node[below]{B} coordinate(B);
            \ctikzset{resistors/scale=0.4}
            \draw (B) to [R={$Z$}] (A);
            \draw[->] ($(B) + (0.25,0.1)$) -- ($(A) + (0.25,-0.1)$);
            \node at ($($(A)!0.5!(B)$) + (0.5,0)$) {$V$};
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Current on Linear Circuit with Load}
        \label{fig:thevenin-example}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to [battery1={$V_t$},invert] ++(0,2) to [R={$Z_t$}] ++(0,2);
            \draw (0,4) to [short, -o] ++(2,0) node[below]{A};
            \draw (0,0) to [short, -o] ++(2,0) node[above]{B};
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Thevenin's Equivalent Voltage Source}
    \end{minipage}
    \caption{Thevenin's Theorem}
    \label{fig:thevenin}
\end{figure}