\section{考察}

\subsection{実験1}

\cref{fig:v-i-r}より測定値はすべて$\pm 5\ \%$の抵抗値の誤差に収まっている．
理想値の曲線は$I = \frac{V}{R}$なので測定値はオームの法則(\cref{equ:ohm})に従っているといえる．

\subsubsection{抵抗器の制限について}

オームの法則は実験で使用した抵抗器よりも低い抵抗値を持つものでも成り立つはずだが定格電力の制限で手順書では使用しなかった．

試しに，実験で使用した抵抗値が$\frac{1}{10}$で定格電力が1/4 Wの抵抗を用いて同じ実験を行なった場合を考える．

オームの法則により，3，6，9 Vでの電流と電力は\cref{tab:v-i-r-tenth}となる．

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \caption{Current and Power of Resistors with tenth of resistance}
    \label{tab:v-i-r-tenth}
    \begin{tabular}{c|r|r|r|r|r|r}
        \hline
        \multirow{2}{5em}{Voltage $[\text{V}]$} & \multicolumn{2}{c|}{$100 \ \Omega$} & \multicolumn{2}{c|}{$220 \ \Omega$} & \multicolumn{2}{c}{$330 \ \Omega$} \\
        \cline{2-7}
                                                & Current (mA) & Power (W) & Current (mA) & Power (W) & Current (mA) & Power (W) \\
        \hline
        3 & 30 & 0.09 & 13.64 & 0.041 & 9.09 & 0.027 \\
        6 & 60 & 0.36 & 27.27 & 0.16 & 18.18 & 0.11 \\
        9 & 90 & 0.81 & 40.91 & 0.37 & 27.27 & 0.25 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

一部で1/4 = 0.25 W を超過してしまう条件がある．
これらの値は理想的な抵抗を使用した場合なので現実ではかろうじて超過しなかったり，僅かながら超える条件があるだろう．

抵抗器はその性質上，電力の一部を熱に変換して発熱しながら電流を制限する．
定格電力を超えての使用は抵抗器が焼損・破裂する可能性があるので注意すること\supercite{resistor-overload-example}．

\subsection{実験2}

実験結果\cref{tab:exp2-res1}，\cref{tab:exp2-res2}より接点(b)での電流の総和はそれぞれ\cref{tab:current-in-b}となった．

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \caption{Applying Kirchhoff's Current Law at Point (b) in each Circuit}
    \label{tab:current-in-b}
    \begin{tabular}{cr}
        \hline
        Circuit & Current $[\text{mA}]$ \\
        \hline
        (a) & 0.01 \\
        (b) & 0.80 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

また，各回路の閉路abef，bcde，acdfでの電圧の和は\cref{tab:voltage-in-loops}となった．

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \caption{Applying Kirchhoff's Voltage Law on each Loop}
    \label{tab:voltage-in-loops}
    \begin{tabular}{crr}
        \hline
        Loop & Circuit (a) $[\text{V}]$ & Circuit (b) $[\text{V}]$ \\
        \hline
        abef & 0.010 & 0.010 \\
        bcde & -0.005 & 0.007 \\
        acdf & 0.005 & -0.017 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

これらから，実験回路はおおかたキルヒホッフの法則に従っているといえる．
しかし，回路(b)の電流則と閉路acdfでは真の値である0からかなり離れてしまった．
これには2つの実験回路での測定方法の差異や測定機器・抵抗値の誤差などが考えられる．

\subsection{実験3}

実験結果\cref{tab:exp3-res1}・\cref{tab:exp3-res2}と\cref{fig:cd-exp2-a}より，電流の向きに注意しながら重ね合わせると

\begin{align}
    V_{R_1} &= 12.40 \ \text{V} - 1.71 \ \text{V} = 10.69 \ \text{V} \\
    V_{R_2} &= 2.61 \ \text{V} - 1.29 \ \text{V} = 1.32 \ \text{V} \\
    V_{R_3} &= 2.59 \ \text{V} + 1.70 \ \text{V} = 4.29 \ \text{V} \\
    I_{R_1} &= 3.81 \ \text{mA} - 0.52 \ \text{mA} = 3.29 \ \text{mA} \\
    I_{R_2} &= -2.61 \ \text{mA} + 1.32 \ \text{mA} = -1.29 \ \text{mA} \\
    I_{R_3} &= 1.19 \ \text{mA} + 0.78 \ \text{mA} = 1.97 \ \text{mA}
\end{align}

それぞれの誤差率は\cref{tab:exp3-exp2-diff}の通りである．

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \caption{Percentage Difference of Experiment \# 3 from Experiment \# 2 on Circuit (a)}
    \label{tab:exp3-exp2-diff}
    \begin{tabular}{cr}
        \hline
        Measurement & Difference $(\%)$ \\
        \hline
        $V_{R_1}$ & 0.00 \\
        $V_{R_2}$ & +1.54 \\
        $V_{R_3}$ & -0.23 \\
        $I_{R_1}$ & +0.30 \\
        $I_{R_2}$ & -1.53 \\
        $I_{R_3}$ & -0.51 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

この誤差は前節の測定方法の差異が影響していると思われる．

\subsubsection{電源の除去法について}

この重ね合わせの理を適用する際の電源の除去法は電圧源と電流源で違ってくる．
電圧源は短絡除去，電流源は開放除去である．
これは\cref{fig:v-c-s-removal}のように電圧源は直列接続，電流源は並列接続であるため，電圧・電流をなくし，抵抗値を変化させないような除去を行なっている．

\begin{figure}[tbh]
    \centering
    \begin{minipage}[h]{0.9\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to [battery1={$E$},invert] ++(0,2) to [R={$R_i$}] ++(0,2);
            \draw (0,0) to [short, -o] ++(2,0);
            \draw (0,4) to [short, -o] ++(2,0);

            \draw (3.25,2) node {\Huge $\Rightarrow$};

            \draw (5,0) -- (5,2) to [R={$R_i$}] ++(0,2);
            \draw (5,0) to [short, -o] ++(2,0);
            \draw (5,4) to [short, -o] ++(2,0);
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Voltage Source}
        \label{fig:vs-removal}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.9\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to [isourceAM={$I$}] ++(0,2);
            \draw (2,0) to [R={$R_i$}] ++(0,2);
            \draw (0,0) to [short, -*] ++(2,0) to [short, -o] ++(2,0);
            \draw (0,2) to [short, -*] ++(2,0) to [short, -o] ++(2,0);

            \draw (5,1) node {\Huge $\Rightarrow$};

            \draw (8,0) to [R={$R_i$}] ++(0,2);
            \draw (6,0) to [short, o-*] ++(2,0) to [short, -o] ++(2,0);
            \draw (6,2) to [short, o-*] ++(2,0) to [short, -o] ++(2,0);
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Current Source}
        \label{fig:cs-removal}
    \end{minipage}
    \caption{Removal of Voltage and Current Source}
    \label{fig:v-c-s-removal}
\end{figure}

\subsection{実験4}

実験結果\cref{tab:exp4-res}から誤差率\cref{tab:exp4-diff}を求める．

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \caption{Percentage Difference of Original and Equivalent Circuit of Experiment \# 4}
    \label{tab:exp4-diff}
    \begin{tabular}{cr}
        \hline
        Measurement & Difference $[\%]$ \\
        \hline
        Voltage & -0.73 \\
        Current & -0.38 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

比較的小さな誤差に収まったが，可変抵抗の抵抗値が少し触れるだけで変化してしまうため設定が難しく，誤差が出てしまった．

\subsubsection{テブナンの定理の証明}

\cref{fig:thevenin-proof-open-circuit}のような回路$N$を考える．
この回路には複数の電圧源・電流源があり内部インピーダンスは$Z_0$である．
そして，この回路の開放電圧を$V_0$とする．

次に\cref{fig:thevenin-proof-load}のように負荷インピーダンス$Z_L$を接続する．
この時，回路には電流$I$が流れる．

そして\cref{fig:thevenin-proof-ec}を考える．
この回路は負荷インピーダンスだけでなく，$V_0$と同じ電圧を持つ2つの電源を互いに打ち消し合うように接続する．
重ね合わせの理を適用して\cref{fig:thevenin-proof-d1}と\cref{fig:thevenin-proof-d2}のように電圧源$V_1$，$V_2$をそれぞれ独立させる．
電流$I$は$I_1$と$I_2$の和として表わせれる．

\cref{fig:thevenin-proof-d1}では点Aでの電位が等しいため電流が流れない，よって$I_1 = 0$である．

\cref{fig:thevenin-proof-d2}では回路Nの電圧源を短絡，電流源を開放して内部インピーダンス$Z_0$を得る．
この時，$I_2$はオームの法則より\cref{equ:thevenin-proof-d2-I2}で表わせれる．

\begin{equation}\label{equ:thevenin-proof-d2-I2}
    I_2 = \frac{V_2}{Z_0 + Z_L} = \frac{V_0}{Z_0 + Z_L}
\end{equation}

結果的に$I_1$と$I_2$の和である電流$I$は$0 + \frac{V_0}{Z_0 + Z_L}$で\cref{equ:thevenin}が得られる．

\cref{fig:thevenin-proof-d2}の回路を変形し電圧源となる部分を抜き出したのが\cref{fig:thevenin-proof-evs}である\supercite{ac-theory:thevenin}．

\begin{figure}[tbh]
    \centering
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) node[fourport] (N) {$N$};
            \draw ($(N.center) + (0,-0.5)$) node[vsourceAMshape,scale=0.5,rotate=180](Vi){};
            \draw ($(N.center) + (0,0)$) node[isourceAMshape,scale=0.5](Ci){};
            \draw (Vi.right) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Vi.left) -- ++(0.25,0);
            \draw (Ci.left) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Ci.right) -- ++(0.25,0);
            \draw ($(N.center) + (0,0.25)$) node[above] {$Z_0$};
            \draw (N.port3) to [short, -o] ++(1,0) node[above]{A} coordinate (A);
            \draw (N.port2) to [short, -o] ++(1,0) node[right]{B} coordinate (B);
            \draw[->] ($(B) + (0,0.1)$) -- ($(A) + (0,-0.1)$);
            
            \draw ($(A)!0.5!(B)$) node[right]{$V_0$};
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Open Circuit}
        \label{fig:thevenin-proof-open-circuit}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) node[fourport] (N) {$N$};
            \draw ($(N.center) + (0,-0.5)$) node[vsourceAMshape,scale=0.5,rotate=180](Vi){};
            \draw ($(N.center) + (0,0)$) node[isourceAMshape,scale=0.5](Ci){};
            \draw (Vi.right) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Vi.left) -- ++(0.25,0);
            \draw (Ci.left) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Ci.right) -- ++(0.25,0);
            \draw ($(N.center) + (0,0.25)$) node[above] {$\dot{Z_0}$};
            \draw (N.port3) to [short, -o, i={$I$}] ++(1,0) node[above]{A} coordinate (A);
            \draw (N.port2) to [short, -o] ++(1,0) node[right]{B} coordinate (B);

            \draw (A) -- ++(1,0) to [R={$Z_L$}] ++(0,-2) -- ++(-1,0) -- (B);
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Connected to Load}
        \label{fig:thevenin-proof-load}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) node[fourport] (N) {$N$};
            \draw ($(N.center) + (0,-0.5)$) node[vsourceAMshape,scale=0.5,rotate=180](Vi){};
            \draw ($(N.center) + (0,0)$) node[isourceAMshape,scale=0.5](Ci){};
            \draw (Vi.right) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Vi.left) -- ++(0.25,0);
            \draw (Ci.left) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Ci.right) -- ++(0.25,0);
            \draw ($(N.center) + (0,0.25)$) node[above] {$\dot{Z_0}$};
            \draw (N.port3) to [short, -o, i={$I$}] ++(1,0) node[above]{A} coordinate (A);
            \draw (N.port2) to [short, -o] ++(1,0) node[right]{B} coordinate (B);

            \draw (A) to [battery1,l={$V_1=V_0$}] ++(1,0) to [R={$Z_L$}] ++(0,-2) to [battery1,l={$V_2=V_0$},invert] ++(-1,0) -- (B);
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Equivalent Circuit}
        \label{fig:thevenin-proof-ec}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) node[fourport] (N) {$N$};
            \draw ($(N.center) + (0,-0.5)$) node[vsourceAMshape,scale=0.5,rotate=180](Vi){};
            \draw ($(N.center) + (0,0)$) node[isourceAMshape,scale=0.5](Ci){};
            \draw (Vi.right) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Vi.left) -- ++(0.25,0);
            \draw (Ci.left) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Ci.right) -- ++(0.25,0);
            \draw ($(N.center) + (0,0.25)$) node[above] {$\dot{Z_0}$};
            \draw (N.port3) to [short, -o, i={$I_1$}] ++(1,0) node[above]{A} coordinate (A);
            \draw (N.port2) to [short, -o] ++(1,0) node[right]{B} coordinate (B);

            \draw (A) to [battery1,l={$V_1=V_0$}] ++(1,0) to [R={$Z_L$}] ++(0,-2) -- ++(-1,0) -- (B);
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Decomposition 1}
        \label{fig:thevenin-proof-d1}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) node[fourport] (N) {$N$};
            \draw ($(N.center) + (0,-0.5)$) node[shortshape,scale=0.5,rotate=180](Vi){};
            \draw ($(N.center) + (0,0)$) node[openshape,scale=0.5](Ci){};
            \draw (Vi.right) -- ++(-0.25,0);
            \draw (Vi.left) -- ++(0.25,0);
            \draw (Ci.left) to [short, o-] ++(-0.25,0);
            \draw (Ci.right) to [short, o-] ++(0.25,0);
            \draw ($(N.center) + (0,0.25)$) node[above] {$\dot{Z_0}$};
            \draw (N.port3) to [short, -o, i={$I_2$}] ++(1,0) node[above]{A} coordinate (A);
            \draw (N.port2) to [short, -o] ++(1,0) node[right]{B} coordinate (B);

            \draw (A) -- ++(1,0) to [R={$Z_L$}] ++(0,-2) to [battery1,l={$V_2=V_0$},invert] ++(-1,0) -- (B);
        \end{circuitikz}
        \subcaption{Decomposition 2}
        \label{fig:thevenin-proof-d2}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[h]{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to [battery1={$V_0$},invert] ++(0,1.5) to [R={$Z_0$}] ++(0,1.5);
            \draw (0,3) to [short, -o] ++(2,0) node[below]{A};
            \draw (0,0) to [short, -o] ++(2,0) node[above]{B};
        \end{circuitikz}
        \vspace{2em}
        \subcaption{Thevenin's Equivalent Voltage Source}
        \label{fig:thevenin-proof-evs}
    \end{minipage}
    \caption{}
\end{figure}